Proposisi Logika Matematika adalah istilah yang digunakan untuk kalimat pernyataan yang memiliki arti penuh dan utuh. Hal ini berarti suatu kalimat harus dapat dipercaya, disangsikan, disangkal, atau dibuktikan benar tidaknya. Singkatnya, proposisi adalah pernyataan mengenai hal-hal yang dapat dinilai benar atau salah.
Telah kita ketahu, Logika mempelajari cara bernalar yang benar dan kita tidak bias melaksanakannya tanpa memiliki dahulu pengetahuan yang menjadi premisnya. Bila kita bandingkan dengan sebuah bangunan, premis itu adalah batu, pasir dan semennya; sedangkan proses penalaran itu dapat kita samakan dengan bagan atau arsitekturnya.
Dengan semen, batu dan pasir serta arsitekturnya yang baik akan dihasilkan bangunan yang indah dan kokoh, dengan premis yang dapat dipertanggungjawabkan dan melalui proses penalaran yang sah akan dihasilkan kesimpulan yang benar.
Premis-premis di mana Logika bergelut berupa pernyataan dalam bentuk kata-kata , meskipun dalam penyelidikan lebih lanjut dijumpai pernyataan dalam bentuk kata-kata, meskipun dalam penyelidikan lebih lanjut dijumpai pernyataan dalam rumus-rumus.
Pernyataan pikiran manusia adakalanya mengungkapkan keinginan, perintah, harapan, cemooh, kekaguman dan pengungkapan realitas tertentu baik dinyatakan dalam bentuk positif maupun bentuk negatif.
RUMUSAN MASALAH
Apa pengertian proposisi ?
Macam-macam proposisi menurut bentuknya ?
Hukum-hukum Logika Proposis ?
Tabel Kebenaran Logika Proposisi ?
TUJUAN PENULISAN
Tujuan pembuatan makalah ini yaitu agar pembaca dapat mengenal lebih dalam seputar logika Proposisi dari mulai Penjelasan, Hukum, dan Tabel Kebenarannya.
PENGERTIAN LOGIKA PROPOSISI
Logika merupakan studi penalaran (reasoning). Pelajaran logika di fokuskan pada hubungan pernyataan – penyataan (statements). Sedangkan Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat di sebut nilai kebenaran.
Proposisi dalam kerangka hubungan ekivalensi logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum. Hukum logika proposisi sering juga dinamakan dengan hukum-hukum aljabar proposisi. Karena, beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil.misalnya , yaitu hukum distributif.
Dalam pembicaraan ekivalensi, dua pernyataan disebut ekivalensi jika mempunyai nilai kebenaran yang sama. Dengan demikian, jika sebagian atau keseluruhan dari sebuah pernyataan majemuk ditukar dengan suatu pernyataan lainnya yang ekivalen secara logis dengan yang ditukar itu, maka nilai kebenaran pernyataan majemuk yang baru adalah sama dengan nilai kebenaran pernyataan majemuk semula.
Berikut hukum - hukum logika proposisi dengan pembuktiannya dengan menggunakan tabel kebenaran yaitu :
1. Hukum Identitas
2. Hukum Null/dominasi
3. Hukum Negasi
4. Hukum Idempoten
5. Hukum Involusi (Negasi Ganda)
6. Hukum Penyerapan (arbsorbsi)
7. Hukum Komutatif
8. Hukum Asosiatif
9. Hukum Distributif
10. Hukum De Morgan
11. Negasi T dan F
Pernyataan-pernyataan dari hukum logika di atas yang saling ekivalan, dapat saling mengganti satu sama lain. Artinya dapat menukar pernyataan kiri dengan sebelah kanan begitu juga sebaliknya. Guna bermanfaat untuk membuktikan keekivalenan dua buah proposisi. Khususnya pada proposisi majemuk yang mempunyai banyak proposisi atomik.
OPERASI LOGIKA DI DALAM KOMPUTER
Bahasa pemrograman umumnya menyediakan tipe data boolean untuk data yang bertipe logika, misalnya tipe boolean dalam bahasa pascal, logical dalam bahasa fortran. Tipe data boolean hanya mempunyai dua buah konstanta nilai saja, yaitu true dal false. Peubah yang bertipe boolean disebut peubah boolean (boolean variable). Nilai peubah tersebut hanya true atau false.
Operasi boolean sering dibutuhkan dalam pemrograman. Operasi boolean dinyatakan dalam ekspresi logika (atau dinamakan juga ekspresi boolean). Operator boolean yang digunakan adalah AND, OR, XOR, dan NOT. Ekspresi boolean tersebut hanya menghasilkan salah satu dari dua nilai, true atau false.
Misalkan adalah peubah boolean dalam bahasa pascal, maka ekspresi boolean di bawah ini adalah valid :
• and
• or (not ( and ))
Yang bersesuaian dengan ekspresi logika:
• ^
• ( ( ))
Operasi lain dari pemrograman yang bersesuaian dengan operasi logika adalah operasi bit. Sebuah bit hanya mempunyai dua nilai yaitu 1 dan 0. 1 untuk mempresentasikan true (T) dan 0 untuk mempresentasikan false (F). Kita menggunakan notasi , ^, masing-masing untuk melambangkan operator AND, OR, XOR, dan NOT. Denga demikian operasi bit:
• 1^0
• 0 0
Bersesuaian dengan operasi logika:
• T^F
• F F
Operator logika AND, OR, XOR, dan NOT dapat digunakan sebagai kata penghubung logika diantara term-term yang dicari. Misalkan kita ingin mencari semua halaman web yang berkaitan dengan “aljabar atau boolean” maka term yang kita cari ditulis sebagai: aljabat OR boolean. Jika kedua-duanya “aljabar dan boolean” maka ditulis : aljabar AND boolean.
Jika kita ingin mencari semua halaman web yang berkaitan dengan topik aljabar atau boolean yang berkaitan dengan matematika, maka term yang ditulis adalah: (aljabar OR boolean) AND matematika.
PROPOSISI BERSYARAT (IMPLIKASI)
Jika ada proposisi p dan q maka implikasi (dibaca jika p maka q) yang disebut dengan proposisi bersyarat, atau kondisional, atau implikasi.
Dalam Implikasi : p → q maka baik p maupun q keduanya adalah proposisi yang dapat bernilai benar atau salah. p → q hanya salah jika p benar tetapi q salah, selain itu implikasi bernilai benar.
Keterangan :
Dalam implikasi p → q maka :
p disebut hipotesis/antesede/premis
q disebut konklusi/kesimpulan
Implikasi p → q memainkan peranan penting dalam penalaran. Implikasi ini tidak hanya diekspresikan dalam pernyataan standard “ jika p, maka q”, tetapi juga dapat diekspresikan dalam berbagai cara, antara lain:
1. Jika p, maka q
2. Jika p,q
3. p mengakibatkan q
4. q jiika p
5. p hanya jika q
6. p syarat cukup agar q
7. q syarat perlu bagi p
8. q bilamana p
Contoh:
Ubalah implikasi berikut ke dalam bentuk proposisi “ jika p, maka q”,
1. jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.
Penyelesaian:
Implikasi di atas sudah dalam bentuk proposisi.
2. Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.
Penyelesaian:
Implikasi di atas sudah dalam bentuk proposisi.
3. Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik.
Penyelesaian:
Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.
4. Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.
Penyelesaian:
Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.
5. Ahmad bisa mengambil mata kuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus mata kuliah Matematika Diskrit.
Penyelesaian:
Jika Ahmad mengambil mata kuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulus mata kuliah Matematika Diskrit.
6. Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok.
Penyelesaian:
Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “percikan api dari rokok adalah syarat cukup untuk membuat pom bensin meledak” atau “jika api memercik dari rokok maka pom bensin meledak.
7. Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan.
Penyelesaian:
Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “mengontrak pemain asing kenamaan adalah syarat perlu untuk Indonesia agar ikut Piala Dunia” atau “jika Indonesia ikut Piala Dunia, maka Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan”
8. Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.
Penyelesaian:
Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.
IMPLIKASI DALAM BAHASA PEMROGRAMAN
Jika Ahmad mengambil mata kuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulus mata kuliah Matematika Diskrit.
6. Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok.
Penyelesaian:
Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “percikan api dari rokok adalah syarat cukup untuk membuat pom bensin meledak” atau “jika api memercik dari rokok maka pom bensin meledak.
7. Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan.
Penyelesaian:
Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “mengontrak pemain asing kenamaan adalah syarat perlu untuk Indonesia agar ikut Piala Dunia” atau “jika Indonesia ikut Piala Dunia, maka Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan”
8. Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.
Penyelesaian:
Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.
IMPLIKASI DALAM BAHASA PEMROGRAMAN
Struktur if-then yang digunakan pada kebanyakan bahasa pemrograman berbeda dengan implikasi if-then yang digunakan dalam logika. Struktur if-then dalam bahasa pemrograman berbentuk:
If c then S
Dalam hal ini c adalah sebuah ekspresi logika yang menyatakan syarat atau kondisi, sedangkan S berupa satu atau lebih pernyataan. Ketika program dieksekusi dan menjumpai pernyataan if-then, S dieksekusi jika c benar, tetapi S tidak dieksekusi jika c salah.
Pernyataan if-then dalam bahasa pemrograman bukan proposisi karena tidak ada korespondensi antara pernyataan tersebut dengan operator implikasi. Penginterpretasi bahasa pemrograman (disebut interpreter atau compiler) tidak melakukan penilaian kebenaran pernyataan if-then secara logika. Interpreter hanya memeriksa kebenaran kondisi c, jika c benar maka S dieksekusi, sebaliknya jika c salah maka S tidak dieksekusi.
Misalkan di dalam sebuah program yang ditulis dalam bahasa pascal terdapat pernyataan berikut:
If then
Berapa nilai y setelah pelaksanaan pernyataan if-then di atas jika nilai dan sebelum pernyataan tersebut adalah : (i) dan (ii)
Penyelesaian:
adalah ekspresi logika yang nilainya benar atau salah bergantung pada nilai dan sedangkan adalah sebuah pernyataan aritmatka yang akan dieksekusi jika ekspresi logika benar.
Misalkan :
(i) sebelum pernyataan if-then , maka ekspresi bernilai benar. Sehingga pernyataan dilaksanakan, yang mengakibatkan nilai sekarang menjadi .
(ii) sebelum pernyataan if-then , maka ekspresi bernilai salah Sehingga pernyataan tidak dilaksanakan, dalam hal ini nilai tetap seperti sebelumnya, yaitu bernilai 5.
VARIAN PROPOSISI BERSYARAT
Terdapat bentuk implikasi lain yang berkaitan dengan p → q, yaitu proposisi sederhana yang merupakan varian dari implikasi. Ketiga variasi proposisi bersyarat tersebut adalah konvers, invers, dan kontraposisi dari proposisi asal p → q.
Penyelesaian:
adalah ekspresi logika yang nilainya benar atau salah bergantung pada nilai dan sedangkan adalah sebuah pernyataan aritmatka yang akan dieksekusi jika ekspresi logika benar.
Misalkan :
(i) sebelum pernyataan if-then , maka ekspresi bernilai benar. Sehingga pernyataan dilaksanakan, yang mengakibatkan nilai sekarang menjadi .
(ii) sebelum pernyataan if-then , maka ekspresi bernilai salah Sehingga pernyataan tidak dilaksanakan, dalam hal ini nilai tetap seperti sebelumnya, yaitu bernilai 5.
VARIAN PROPOSISI BERSYARAT
Terdapat bentuk implikasi lain yang berkaitan dengan p → q, yaitu proposisi sederhana yang merupakan varian dari implikasi. Ketiga variasi proposisi bersyarat tersebut adalah konvers, invers, dan kontraposisi dari proposisi asal p → q.
- Konvers, yaitu sebuah pernyataan yang benar tetapi tidak perlu benar. Hal ini disebabkan nilai kebenaran sebuah pernyataan tidak sama dengan konversnya. jika p → q maka konversnya q → p. Invers, yaitu sebuah pernyataan yang diperoleh dengan membentuk sangkalan terhadap anteseden dan konsekuennya. Jika p → q maka invers ~ p → ~ q.
- Kontraposisi yaitu sebuah pernyataan yang selalu benar sebab kedua pernyataan ini saling logically equivalent (ekivalen secara logis). jika p → q maka kontrapositifnya ~ q → ~ p
- Konvers (kebalikan) : q → p
- Invers : ~ p → ~ q
- Kontraposisi : ~ q → ~ p
Tabel Kebenaran
Tabel di atas memperlihatkan tabel kebenaran dari ketiga varian proposisi bersyarat tersebut. Dari tabel tersebut terlihat bahwa proposisi bersyarat p → q ekivalen secara logika dengan kontraposisinya, ~ q → ~p. Sedangkan konvers q →p ekivalen secara logika dengan invers ~ p → ~ q. Ekivalen secara yang dimaksud diatas adalah memiliki nilai kebenaran yang sama atau setara.
Contoh :
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataaan berikut “jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya”.
Penyelesaian:
Konvers (kebalikan) : q → p
Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil.
Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil.
Invers : ~ p → ~ q
Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya.
Kontraposisi : ~ q → ~ p
Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil.
MANFAAT
Setelah Mengikut Pokok bahasan ini Mahasiswa Diharapkan :
- Mampu menggunakan Konsep penalaran Logika Matematika secara benar.
- Terampil menggunakan perangkai dasar dalam membuat table nilai kebenaran dari konjungsi, disjungsi, implikasi, ingkaran-ingkaran, inverse, konversi, tautologi, dan ekivalen.
- Terampil dalam mengerjakan contoh soal kuis/latihan.
KESIMPULAN
Dari data diatas membuktikan bahwa jelas Logika merupakan studi penalaran (reasoning). Pelajaran logika di fokuskan pada hubungan pernyataan – penyataan (statements). Sedangkan Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah, tapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat di sebut nilai kebenaran.
Proposisi dalam kerangka hubungan ekivalensi logika, memenuhi sifat-sifat yang dinyatakan dalam sejumlah hukum. Hukum logika proposisi sering juga dinamakan dengan hukum-hukum aljabar proposisi. Karena, beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil.misalnya , yaitu hukum distributif.
Demikian artikel mengenai Proposisi Logika Matematika, semoga informasi yang diberikan bermanfaat.
Sumber Referensi
- Copi, Iriving M. 1978. Introduction to Logic. New York: Macmillan Publishing.
- Keraf ,Gorys. 1982. Argumentasi dan Narasi Komposisi Lanjutan III. Jakarta:Gramedia..
- McCall, Raymond. 1966. Basic Logic. New York: Barnes and Noble
- Mehra, Partap Sing. Pengantar Logika Tradisional. Bandung: Bina Cipta.
- Mundiri. 2009. Logika. Jakarta: Rajawali Pers
- White, Morton. 1960. The Age of Analysis. New York : New American Library.
- Bandingkan dengan Gorys Keraf, Argumentasi dan Narasi Komposisi Lanjutan III, Gramedia, Jakarta, 1982, hlm. 5
- Yaitu proposisi pada Logika Simbolik. Lihat lebih jauh misalnya pada Irving M. Copi, Introduction …, op. cit., hlm. 263-308.
- Partap Sing Mehra, Pengantar Logika Tradisional, (Bandung: Bina Cipta), hlm. 34
- Prposisi sintetik dan analitik adalah konsep yang dikemukakan oleh Emanuel Kant. Tentang proposisi ini dapat anda lihat umpamanya pada Morton White, The Age of Analysis, New American Library, New York, 1960, hlm. 297
- Mundiri, Logika,(Jakarta: Rajawali Pers: 2009), hlm.55-56